%bac2026gt-spec-all-janvier-sujet2-exo3.tex
Le plan est muni d'un repère orthogonal.

\medskip

\textbf{\underline{Partie A}}

\medskip

On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5 ; 3]$ par : \[ P(x)=2 x^{2}+x-10. \]

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les racines de $P$.
		\item En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y=P(x)$.
	\end{enumerate}
	\item Établir le tableau de signe de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5 ; 3]$.
\end{enumerate}

\textbf{\underline{Partie B}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5 ; 3]$ dont on donne ci-dessous la courbe représentative $C_{f}$.

\begin{Centrage}
	\begin{GraphiqueTikz}[x=1.5cm,y=0.22cm,Xmin=-5.3,Xmax=3.4,Xgrille=0.5,Xgrilles=0.1,Ymin=-14,Ymax=23,Ygrille=5,Ygrilles=1]
		\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\scriptsize]{-5,-4.5,...,3}{-10,-5,...,20}
		\DefinirCourbe[Nom=T,Trace,Couleur=blue]< d >{(4*2^2-14*2+8)*exp(0.5*2)}
		\DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=-5,Fin=3,Trace,Couleur=red]< f >{(4*x^2-14*x+8)*exp(0.5*x)}
		\PlacerTexte[Couleur=red]{(-4.75,17)}{$C_{f}$}
		\PlacerTexte[Couleur=blue]{(-4.75,-10)}{$T$}
		\MarquerPts{(2,{4*2^2-14*2+8)*exp(0.5*2)})/A/below}
	\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

La tangente $T$ à la courbe $C_{f}$ au point $A$ d'abscisse 2 est horizontale.

\begin{enumerate}
	\item Donner la valeur du nombre dérivé $f^{\prime}(2)$.
	\item Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $f^{\prime}(x)<0$.
	\item On sait que la fonction $f$ a pour expression sur l'intervalle $[-5 ; 3]$ : \[ f(x)=\left(4 x^{2}-14 x+8\right) \mathrm{e}^{0,5 x}. \]
	%
	Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-5 ; 3]$, on a : \[ f^{\prime}(x)=P(x) \e^{0,5 x}. \]
	\item En utilisant les résultats de la \textbf{partie A}, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5 ; 3]$. \textit{(Il n'est pas demandé de calculer les images)}
\end{enumerate}