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Un lac qui alimente une région en électricité voit son niveau d'eau baisser depuis le début des années 2000.

En 2020, le niveau du lac était d'environ $1\,100$ mètres au-dessus du niveau de la mer. En dessous de $1\,020$ mètres, le niveau du lac est insuffisant pour permettre la production d'énergie hydroélectrique.

\medskip

\textbf{Partie A -- Étude d'un modèle discret}

\medskip

Dans cette partie, on estime que le niveau du lac, mesuré au-dessus du niveau de la mer, baisse de $1\,\%$ tous les ans.

On définit la suite $\suiten[u]$ telle que $u_n$ représente le niveau du lac en mètres $n$ années après 2020, c'est-à-dire en $2020+n$.

On a alors $u_0 = 1\,100$.

\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-2mm]
\begin{tcolorbox}[enhanced,colback=gray!12,colframe=gray!12,size=small,boxrule=0pt,sharp corners,width=4cm]
\textbf{Aide aux calculs :}

\smallskip

$1\,100 \times 0{,}99 = 1\,089$

$1\,100 \times 0{,}01 = 11$

$1\,100 \times 0{,}9 = 990$
\end{tcolorbox}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$ et interpréter ce résultat.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    \item En déduire la nature de la suite $\suiten[u]$. On précisera sa raison.
  \end{enumerate}
  \item Pour tout entier naturel $n$, en déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
  \item Écrire le calcul qui permet d'estimer le niveau du lac en 2028. \textit{On ne demande pas d'effectuer ce calcul.}
  \item Recopier et compléter le programme écrit en langage Python ci-dessous afin qu'il affiche le nombre d'années après 2020 à partir duquel le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique.

\begin{Centrage}
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=6cm]{center}
u = 1100
n = 0
while ............... :
    n = n + 1
    u = ...................
print(n)
\end{CodePythonLstAlt}
\end{Centrage}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B -- Étude d'un modèle continu}

\medskip

Dans cette partie, l'évolution du niveau du lac est modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par :
\[
  f(t) = 1\,050\,\e^{-0{,}01t} + 50
\]
où $f(t)$ est le niveau du lac en mètres et $t$ le temps écoulé en années, depuis 2020.

\begin{enumerate}
  \item Le modèle proposé est-il cohérent avec le niveau du lac en 2020 ? \textit{Justifier votre réponse.}
  \item Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, $f'(t) = -10{,}5\,\e^{-0{,}01t}$.
  \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \textit{Justifier.}
  \item On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

  \begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.4cm,y=0.07cm,Xmin=0,Xmax=9.75,Xgrille=5,Xgrilles=0.5,Origy=1000,Ymin=1000,Ymax=1112.5,Ygrille=10,Ygrilles=10]
    \TracerAxesGrilles[Police=\footnotesize]{0,1,...,9}{1000,1010,...,1110}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red]{1050*exp(-0.01*x)+50}
    \PlacerTexte[Couleur=red]{(1.5,1080)}{$\mathcal{C}_f$}
  \end{GraphiqueTikz}
  \end{Centrage}

  \medskip

  Lire, avec la précision permise par le graphique, l'année à partir de laquelle le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique.
\end{enumerate}