%bac2026gt-spec-asie-juin-sujet1-exo3
On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ pour l'ensemble de l'exercice.

\medskip

\textbf{Partie A -- Étude d'un cercle}

\textit{Cette partie est indépendante des parties B et C qui suivent.}

\medskip

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(3;1)$ et de rayon $r = \dfrac{\sqrt{37}}{2}$.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-1.25,Xmax=6.75,Xgrilles=1,Ymin=-2.5,Ymax=4.5,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-1,0,...,6}{-2,-1,...,4}
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0)--(1,0) node[midway,below,font=\footnotesize] {$\vec{\imath}$} ;
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0)--(0,1) node[midway,left,font=\footnotesize] {$\vec{\jmath}$} ;
  \draw[black,thick] (3,1) circle ({sqrt(37)/2});
  \MarquerPts[Style=x,Taillex=2pt]{(3,1)/$A$/below left,(6,0.5)/$B$/above right}
  \PlacerTexte[]{(5.3,3.5)}{$\mathcal{C}$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\medskip

\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-2mm]
\begin{tcolorbox}[enhanced,colback=gray!12,colframe=gray!12,size=small,boxrule=0pt,sharp corners,width=4cm]
\textbf{Aide aux calculs :}

\medskip

$9{,}25 = \dfrac{37}{4}$

$8{,}75 = \dfrac{35}{4}$

$0{,}5^2 = 0{,}25$
\end{tcolorbox}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item Justifier que le cercle $\mathcal{C}$ admet pour équation :
  \[
    (x-3)^2 + (y-1)^2 = \dfrac{37}{4}.
  \]
  \item Démontrer que le point $B(6;0{,}5)$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on considère la figure ci-dessous et les données suivantes :

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-1.25,Xmax=10.5,Xgrilles=1,Ymin=-1.25,Ymax=3.75,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-1,0,...,10}{-1,0,...,3}
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0)--(1,0) node[midway,below,font=\footnotesize] {$\vec{\imath}$} ;
  \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0)--(0,1) node[midway,left,font=\footnotesize] {$\vec{\jmath}$} ;
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=black,Debut=0.7]{3/x}
  \MarquerPts[Style=x,Taillex=2pt]{(3,1)/$A$/below left,(6,0.5)/$B$/above right,(4,2)/$D$/above right}
  \PlacerTexte[Couleur=black]{(8.75,0.75)}{$\mathcal{H}$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{itemize}[noitemsep]
  \item l'équation de la courbe $\mathcal{H}$ est : $y = \dfrac{3}{x}$ pour $x$ strictement positif ;
  \item les coordonnées des points sont : $A(3;1)$, $B(6;0{,}5)$ et $D(4;2)$.
\end{itemize}

\medskip

On considère un point $M$ mobile sur la courbe $\mathcal{H}$, d'abscisse $x > 0$.

L'objectif des deux parties suivantes est de démontrer qu'il n'existe qu'un seul point $M$ tel que l'angle $\widehat{DAM}$ soit droit.

\medskip

\textbf{Partie B -- Étude d'un cas particulier}

\begin{enumerate}
  \item Justifier que le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal{H}$.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{AD}$ et $\vect{AB}$.
    \item En déduire le produit scalaire $\vect{AD} \cdot \vect{AB}$.
    \item L'angle $\widehat{DAB}$ est-il droit ? \textit{Justifier.}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C -- Étude du cas général}

\begin{enumerate}
  \item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2 - 4x + 3 = 0$.
  \item On rappelle que $M$ est un point sur la courbe $\mathcal{H}$ d'abscisse $x > 0$.

  Démontrer qu'il n'existe qu'un seul point $M$ tel que l'angle $\widehat{DAM}$ est droit.

  \hfill\textit{Toute trace de recherche pourra être valorisée.}\hfill\null
\end{enumerate}