%bac2026gt-spec-ce-juin-sujet1-exo4.tex
Soit $f$ une fonction définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.

On a tracé dans un repère la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ et la droite $T_A$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $(1;20)$.

La droite $T_A$ passe par le point $B$ de coordonnées $(3;10)$.

\begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.5cm,y=0.1cm,Xmin=-0.5,Xmax=7.25,Ygrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-5,Ymax=55,Ygrille=10,Ygrilles=10]
    \TracerAxesGrilles{0,1,...,7}{0,10,...,50}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red,Debut=0.1,Nom=cf]{(4x^2+7x+9)/x}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Nom=Ta]{-5x+25}
    \MarquerPts[Style=x]{(1,20)/A/above right}
    \MarquerPts[Style=x]{(3,10)/B/above right}
    \PlacerTexte[Couelur=blue]{(4.5,5)}{$T_A$}
  \end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Donner $f(1)$.
    \item Déterminer la valeur de $f'(1)$.
    \item Justifier que l'équation réduite de la tangente $T_A$ à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est : $y = -5x + 25$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

Pour la suite de l'exercice, la fonction $f$ est définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = \dfrac{4x^2+7x+9}{x}$.

On admet que $f$ est dérivable sur cet intervalle.

\begin{enumerate}[resume]
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que pour tout $x \in \IntervalleOO{0}{+\infty}$, on a $f'(x) = \dfrac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}$.
    \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.
    \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$.
  \end{enumerate}
  \item Existe-t-il une tangente à $\mathcal{C}_f$ parallèle à la droite d'équation $y = 3x + 5$ ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}