%bac2026gt-spec-fr-juin-sujet1-exo4
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on considère les points $P(4\,;\,0)$ et $K(1\,;\,0)$.

On considère un réel $x$ et on note $M$ le point de coordonnées $(x\,;\,3)$.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.1cm,y=1.1cm,Xmin=-0.5,Xmax=5,Xgrilles=1,Ymin=-0.5,Ymax=3.5,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\small]{0,1,...,4}{0,1,...,3}
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(1,0)/$K$/above right,(4,0)/$P$/above right,(2.2,3)/$M$/above right}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{KP}$ ainsi que sa norme.
  \item Exprimer en fonction de $x$ les coordonnées du vecteur $\vect{KM}$ ainsi que sa norme.
  \item Montrer que le produit scalaire $\vect{KP} \cdot \vect{KM}$ est égal à $3x - 3$.
  \item Montrer que si l'angle $\widehat{PKM}$ est égal à $\dfrac{\pi}{3}$, alors le réel $x$ est solution de l'équation
  \[
    (E) \quad \sqrt{(x-1)^2 + 9} = 2x - 2.
  \]
  \item Vérifier que le réel $1 + \sqrt{3}$ est solution de l'équation $(E)$.
\end{enumerate}