%bac2026gt-spec-fr-juin-sujet2-exo3
On considère un château de cartes à N étages, représenté ci-dessous dans le cas $N = 3$.

On souhaite déterminer combien de cartes sont nécessaires pour construire un tel château.

\begin{Centrage}
  \colorlet{eamtechnocoulfond}{white}
  \begin{tikzpicture}[semithick,line join=bevel]
    %étage 1
    \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
    \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] ([xshift=1cm]0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
    \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] ([xshift=2cm]0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
    \draw (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) --++ (60:1) --++ (-60:1) --++ (60:1) --++ (-60:1) ;
    \filldraw[eamtechnocoulfond] (0,-0.025) circle[radius=0.8pt] (1,-0.025) circle[radius=0.8pt] (2,-0.025) circle[radius=0.8pt] (3,-0.025) circle[radius=0.8pt];
    \node[font=\footnotesize\sffamily,right] at (3,{0.25*sqrt(2)}) {Étage 1} ;
    %étage 2
    \begin{scope}[shift={(0.5,{0.5*sqrt(2)+0.2})}]
      \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
      \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] ([xshift=1cm]0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
      \draw (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) --++ (60:1) --++ (-60:1) ;
      \draw (0,-0.025) -- (2,-0.025) ;
      \filldraw[eamtechnocoulfond] (0,-0.025) circle[radius=0.8pt] (1,-0.025) circle[radius=0.8pt] (2,-0.025) circle[radius=0.8pt] ;
      \node[font=\footnotesize\sffamily,right] at (2.5,{0.25*sqrt(2)}) {Étage 2} ;
    \end{scope}
    %étage 2
    \begin{scope}[shift={(1,{1*sqrt(2)+0.4})}]
      \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ;
      \draw (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) ;
      \draw (0,-0.025) -- (1,-0.025) ;
      \filldraw[eamtechnocoulfond] (0,-0.025) circle[radius=0.8pt] (1,-0.025) circle[radius=0.8pt] (60:1) circle[radius=0.8pt] ;
      \node[font=\footnotesize\sffamily,right] at (2,{0.25*sqrt(2)}) {Étage 3} ;
    \end{scope}
  \end{tikzpicture}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Combien de triangles \og pointe en haut \fg{} peut-on dénombrer à l'étage $1$ dans un château à N étages ?
  \item Combien de triangles \og pointe en haut \fg{} sont nécessaires pour construire tout le château à N étages ?
  \item Justifier que le nombre de cartes nécessaires pour construire ce château à N étages est égal à :
  \[
    \dfrac{3N^2 + N}{2}
  \]
  \item On dispose d'un paquet de $54$ cartes, combien d'étages peut comporter au maximum un château construit avec ces cartes ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}