%bac2026gt-spec-fr-juin-sujet2-exo4
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-6mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.8cm,y=0.8cm,Xmin=-1.5,Xmax=6.5,Xgrilles=0.1,Ymin=-0.75,Ymax=10.75,Ygrilles=0.1]<Theme=gris>
  \draw[thick,fill=gray!25] (0,10)--(5,10)--(5,6)--(4,0)--(0,3)--cycle ;
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-1,0,...,6}{0,...,10}
  \draw[thick] (0,10)--(5,10)--(5,6)--(4,0)--(0,3)--cycle ;
  \draw[thick] (0,0)--(0,10)--(5,10)--(5,0)--cycle ;
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=+]{(0,10)/$A$/above right,(5,10)/$B$/above right,(5,0)/$C$/above right,(0,3)/$D$/above right,(5,6)/$E$/above right,(4,0)/$F$/above right,(0,0)/$O$/above right}
  \draw[pflaxes,->] (0,0) -- (1,0) node[below,midway] {$\vect{\imath}$}
  (0,0) -- (0,1) node[left,midway] {$\vect{\jmath}$};
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\Rij$.

Le rectangle OABC représenté ci-dessous modélise une scène de spectacle vue de dessus.

On place un projecteur au point F qui permet d'éclairer la partie du plan délimitée par le polygone ABEFD.

\begin{enumerate}
  \item Donner sans justification les coordonnées des points A, B, C, D, E, F dans le repère $\Rij$.

  \item Un visiteur affirme que la partie du plan éclairée par ce projecteur représente plus de $80\,\%$ de l'aire totale de la scène.

  Cette affirmation est-elle exacte ?

  \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{FD}$ et $\vect{FE}$ et calculer le produit scalaire $\vect{FD} \cdot \vect{FE}$.

  \item En déduire une valeur exacte du cosinus de l'angle $\widehat{DFE}$.

  \item Expliquer comment construire à l'aide d'une équerre le point M appartenant au segment $[DF]$ tel que

  ${\vect{FD} \cdot \vect{FM} = 14}$.
\end{enumerate}