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Un club de vacances propose deux types d'activités à ses clients : des randonnées le matin et des activités nautiques l'après-midi.

On sait que :
\begin{itemize}
  \item un quart des clients participent aux randonnées,
  \item parmi les clients ayant choisi de faire une randonnée le matin, la moitié s'inscrit aussi aux activités nautiques de l'après-midi,
  \item parmi les clients n'ayant pas choisi de faire une randonnée le matin, un tiers s'inscrit aux activités nautiques de l'après-midi.
\end{itemize}

On choisit un client du club de vacances au hasard et on note :
\begin{itemize}
  \item $R$ l'évènement : \og le client participe à la randonnée \fg,
  \item $N$ l'évènement : \og le client participe aux activités nautiques \fg.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter l'arbre de probabilité représentant la situation.

  \medskip

  \def\ArbreExoUn{
    $R$/\numdots/,
    $N$/\numdots/,
    $\overline{N}$/\numdots/,
    $\overline{R}$/\numdots/,
    $N$/\numdots/,
    $\overline{N}$/\numdots/
  }

  \begin{Centrage}
  \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{\ArbreExoUn}
  \end{Centrage}

  \item Montrer que la probabilité que le client participe aux activités nautiques est $\dfrac{3}{8}$.
  \item Sachant que le client a participé aux activités nautiques de l'après-midi, quelle est la probabilité qu'il ait fait la randonnée du matin ?
  \item Les évènements $R$ et $N$ sont-ils indépendants ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En 2025, le club de vacances a accueilli $400$ clients. Son directeur projette la fréquentation du club dans les années à venir en modélisant le nombre de clients du club les années suivantes par la suite $\suiten$ définie par :
\[
  u_0 = 400 \text{ et pour tout entier naturel } n \text{, } u_{n+1} = 1{,}025\,u_n.
\]
où $u_n$ représente le nombre de clients du club pour l'année $2025 + n$.

\begin{enumerate}
  \item Donner la nature de la suite $\suiten$ en précisant sa raison.
  \item Selon ce modèle, quel est le taux d'évolution annuel de la fréquentation de ce club de vacances ?
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Recopier et compléter la fonction \texttt{seuil}, codée en \textsf{Python}, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à $k$, où $k$ est un entier naturel non nul.

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center}
def seuil(k) :
    u = 400
    n = 0
    while ...... :
        n = ...
        u = ...
    return ...
\end{CodePythonLstAlt}

    \item Le tableau ci-dessous a été extrait d'une feuille automatisée de calcul donnant les valeurs arrondies au centième de $1{,}025^n$ pour certaines valeurs de $n$.

    Déterminer la valeur renvoyée par l'instruction \texttt{seuil(600)}, où \texttt{seuil} est la fonction codée en \textsf{Python} donnée en 3.a). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

    \medskip

    \begin{wrapstuff}[r,rightsep=5mm]
       \begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Largeur=3.5cm,Attache=Non,Inclinaison=5]
        \textbf{\underline{Aide au calcul}} :

        \smallskip

        ~~$400\times1,5=600$
      \end{PostIt}%
    \end{wrapstuff}

    \hfill%
    \begin{tikzpicture}[scale=0.75,transform shape]
      \tableur*[23]{A/1.2cm,B/1.5cm}
      %\remplircases[align=center]{$n$ & $1{,}025^n$}
      \colonnetxt*[align=center]{A}{$n$,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21}
      \colonnetxt*[align=center]{B}{$1{,}025^n$,1.00,1.03,1.05,1.08,1.10,1.13,1.16,1.19,1.22,1.25,1.28,1.31,1.34,1.38,1.41,1.45,1.48,1.52,1.56,1.60,1.64,1.68}
    \end{tikzpicture}%
    \hfill\null
  \end{enumerate}
\end{enumerate}