%bac2026gt-spec-poly-juin-sujet1-exo3
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}x + 1\right)\e^{-x}$.

On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{wrapstuff}[r,rightsep=5mm]
  \begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Largeur=3.5cm,Attache=Non,Inclinaison=5]
    \textbf{\underline{Aide au calculs}} :

    \smallskip

    ~~$e^1 \approx 2{,}7$

    ~~$e^{-1} \approx 0{,}4$

    ~~$e^2 \approx 7{,}4$
  \end{PostIt}%
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item Démontrer que, pour tout réel $x$, $f'(x) = \left(-\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}$.

  \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

  \item L'affirmation \og Pour tout réel $x$, $f(x) \leqslant 2$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

  \item Déterminer l'équation réduite de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction polynôme du second degré définie par $g(x) = 0{,}5x^2 + bx + c$ où $b$ et $c$ sont deux réels.

On crée la courbe représentée ci-dessous, constituée des deux éléments suivants :
\begin{itemize}
  \item une partie de la courbe $(C_f)$ représentative de la fonction $f$ définie dans la partie A sur l'intervalle $[-2\,;\,0]$,
  \item une partie de la courbe $(C_g)$ représentative de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0\,;\,3]$.
\end{itemize}

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.15cm,y=1.15cm,Xmin=-2.5,Xmax=3.5,Xgrilles=1,Ymin=-0.25,Ymax=4.25,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-2,-1,...,3}{0,1,...,4}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=-2,Fin=0]{(0.5*x+1)*exp(-x)}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red,Debut=0,Fin=3]{0.5*x^2+(-0.5)*x+1}
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=x,Taillex=2.5pt]{(0,1)/$M$/above right}
  \PlacerTexte[Couleur=blue]{(-1.5,1.5)}{$C_f$}
  \PlacerTexte[Couleur=red]{(2.65,2.5)}{$C_g$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

Le but de cette partie est de déterminer les réels $b$ et $c$.

\begin{enumerate}
  \item Le point $M(0\,;\,1)$ appartient aux deux courbes $(C_f)$ et $(C_g)$.

  Démontrer que $c = 1$.

  \item Au point $M(0\,;\,1)$, les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ admettent la même tangente.

  Déterminer la valeur de $b$.
\end{enumerate}