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Une biologiste désire étudier l'évolution de la population de singes sur une île. En 2025, elle estime qu'il y a \num{1000} singes sur l'île.

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\textbf{A. Premier modèle.}

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Chaque année, la population de singes baisse de $10\,\%$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer qu'en 2026, il y aura 900 singes sur l'île.
	\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025+n$. On a donc $u_{0}=\num{1000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer ce que représente $u_{2}$ et calculer sa valeur.
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ et préciser sa raison.
		\item Donner les variations de cette suite.
	\end{enumerate}
	\item Selon ce modèle, la population de singes est-elle menacée d'extinction ? Justifier.
\end{enumerate}

\textbf{B. Second modèle}

\medskip

On admet que l'évolution du nombre de singes est modélisée par la suite $\left(v_{n}\right)$ ainsi définie : \[ \begin{cases} v_{n+1}=0,9 v_{n}+150~;~n \in \N \\ v_{0}=\num{1000} \end{cases} \]
%
où $v_{n}$ désigne le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025+n$.

\begin{wrapstuff}[r]
	\begin{tikzpicture}[scale=0.825,transform shape]
		\tableur*[21]{A/2cm,B/2cm}
		\celtxt*[align=center,font=\bfseries]{A}{1}{n}
		\colonnetxt*[align=center]{A}<2>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}
		\celtxt*[align=center,font=\bfseries]{B}{1}{Vn}
		\colonnetxt*[align=center]{B}<2>{1000,1050,109,1136,1172,1205,1234,1261,1285,1306,1326,1343,1359,1373,1386,1397,1407,1417,1425,1432}
	\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
	\item Avec ce modèle, quelle sera la population de singes en 2026 ? Détailler le calcul.

	\item La feuille de calcul ci-contre donne les valeurs arrondies à l'unité des premiers termes de la suite $\left(v_{n}\right)$. Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule \AffVignette[Type=sheet,Police=\footnotesize\sffamily]{B3} pour obtenir les termes de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?

	\item Indiquer en quelle année, la population de singes dépassera pour la première fois 1400 individus.
\end{enumerate}

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