%bac2026gt-tech-fr-juin-sujet1-exo3
Une salle de sport propose deux offres d'abonnement :

\begin{itemize}
  \item Abonnement n°1 : $250$~€ en 2026 puis une augmentation de $30$~€ par an.
  \item Abonnement n°2 : $200$~€ en 2026 puis une augmentation de $10\,\%$ par an.
\end{itemize}

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A : Abonnement n°1.}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le montant de l'abonnement n°1 pour l'année $2026 + n$.

On a ainsi $a_0 = 250$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Calculer le montant de l'abonnement pour 2027.
    \item Calculer $a_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
  \end{enumerate}
  \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.
  \item En déduire la nature de la suite $\suiten[a]$ et préciser sa raison.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Abonnement n°2.}

\medskip

\begin{wrapstuff}[r]
\begin{tikzpicture}
  %\tabnumlinewidth{1.57em}
  \tableur*[16]{A/1.15cm,B/1.65cm,C/1.65cm,D/1.65cm}%
  %entête
  \remplircases[align=center]{%
    $n$ & $a_n$ & $b_n$ & $c_n$
  }
  %valeurs
  \colonnetxt*[align=right,width=1.15cm]{A}<2>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
  \colonnetxt*[align=right,width=1.65cm]{B}<2>{250\,€,280\,€,310\,€,340\,€,370\,€,400\,€,430\,€,460\,€,490\,€,520\,€,550\,€,580\,€,610\,€,640\,€,670\,€}
  \colonnetxt*[align=right,width=1.65cm]{C}<2>{200\,€,220\,€,242.00\,€,266.20\,€,292.82\,€,322.10\,€,354.31\,€,389.74\,€,428.72\,€,471.59\,€,518.75\,€,570.62\,€,627.69\,€,690.45\,€,759.50\,€}
  \colonnetxt*[align=right,width=1.65cm]{D}<2>{50\,€,60\,€,68\,€,73.80\,€,77.18\,€,77.90\,€,75.69\,€,70.26\,€,61.28\,€,48.41\,€,31.25\,€,9.38\,€,-17.69\,€,-50.45\,€,-89.50\,€}
  \selecCell{D}{2}
\end{tikzpicture}%
\end{wrapstuff}

Pour tout entier naturel $n$, on note $b_n$ le montant de l'abonnement n°2 pour l'année $2026 + n$.

On a ainsi $b_0 = 200$.

\begin{enumerate}
  \item Justifier que le montant de l'abonnement en 2027 s'élève à $220$~€.
  \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$.
  \item En déduire la nature de la suite $\suiten[b]$ et préciser sa raison.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Comparaison des offres.}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ on note $c_n = a_n - b_n$.

Les premiers termes des suites $\suiten[a]$, $\suiten[b]$ et $\suiten[c]$ sont donnés sur la feuille de calcul ci-contre.

\begin{enumerate}
  \item Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, doit-on écrire dans la cellule \textsf{D2} ?
  \item À partir de quelle année le montant de l'abonnement n°2 devient-il plus élevé que le montant de l'abonnement n°1 ?
\end{enumerate}