%bac2026gt-tech-fr-juin-sujet2-exo3
En 2026, Monsieur Egg possède un élevage de $800$ poules nourries au blé.

\begin{enumerate}
  \item Au regard des années précédentes, on estime que le nombre de poules élevées par Monsieur Egg augmente de $2\,\%$ par an. On modélise cette augmentation par la suite $\suiten[u]$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de poules élevées l'année $2026 + n$ suivant ce modèle.

  On a $u_0 = 800$.

  \begin{enumerate}
    \item Calculer le nombre de poules qu'aura Monsieur Egg en 2027.
    \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$.
    \item Déterminer la nature de la suite $\suiten[u]$ et préciser sa raison.
  \end{enumerate}

  \item En 2026, Monsieur Egg peut nourrir au maximum $900$ poules.

  En améliorant la qualité de ses cultures, il estime qu'il peut nourrir au maximum $10$ poules de plus chaque année.

  Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le nombre maximum de poules que peut nourrir Monsieur Egg en $2026 + n$ suivant ce modèle. On a $v_0 = 900$.

  \begin{enumerate}
    \item Calculer $v_1$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
    \item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, pour tout entier naturel $n$.
    \item Déterminer la nature de la suite $\suiten[v]$, et préciser sa raison.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

On donne, dans le tableau ci-dessous, les valeurs des premiers termes de chacune des suites $\suiten[u]$ et $\suiten[v]$. Les valeurs obtenues sont arrondies à l'unité.

\medskip

\begin{Centrage}
  \begin{tblr}{width=5.5cm,hlines,vlines,colspec={Q[m,c]X[m,c]X[m,c]},row{1}={font=\bfseries}}
    Indice $\bm{n}$ & $\bm{u_n}$ & $\bm{v_n}$ \\
    0 & 800 & 900 \\
    1 & 816 & 910 \\
    2 & 832 & 920 \\
    \dots & \dots & \dots \\
    8 & 937 & 980 \\
    9 & 956 & 990 \\
    10 & 975 & 1000 \\
    11 & 995 & 1010 \\
    12 & 1015 & 1020 \\
    13 & 1035 & 1030 \\
    14 & 1056 & 1040 \\
    15 & 1077 & 1050 \\
  \end{tblr}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}[resume]
  \item D'après les valeurs obtenues dans le tableau ci-dessus, à partir de quelle année Monsieur Egg ne pourra-t-il plus nourrir toutes ses poules ?
\end{enumerate}