%bac2026gt-tech-fr-juin-sujet2-exo4
Une entreprise produit et vend chaque mois jusqu'à $40\,000$ enceintes.

Ses coûts de production, en milliers d'euros, pour $x$ milliers d'enceintes produites et vendues sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[0;40]$ par :
\[
  C(x) = 2x^2 + 4x + 530.
\]

L'entreprise fixe le prix de vente d'une enceinte à $96$~€.

L'entreprise étudie, à l'aide d'une feuille de calcul, le bénéfice qu'elle peut réaliser en fonction du nombre d'enceintes produites et vendues :

\medskip

\begin{Centrage}
  \storewidthtolength[4mm]{\small\bfseries Nombre d'enceintes}{\pastableurcolA}%
  \storewidthtolength[4mm]{\small\bfseries Coûts de production}{\pastableurcolB}%
  \storewidthtolength[4mm]{\small\bfseries (en milliers d'euros)}{\pastableurcolC}%
  \begin{tikzpicture}
    \gentableur[10]%
      {A/\pastableurcolA,B/\pastableurcolB,C/\pastableurcolB,D/\pastableurcolB}%
      [3em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em]
    \celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolA]{A}{1}{Nombre d'enceintes\\(en milliers)}
    \celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolB]{B}{1}{Coûts de production\\(en milliers d'euros)}
    \celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolB]{C}{1}{Recette\\(en milliers d'euros)}
    \celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolB]{D}{1}{Bénéfice\\(en milliers d'euros)}
    \colonnetxt*[align=center]{A}<2>{$0$,$5$,$10$,$15$,$20$,$25$,$30$,$35$,$40$}
    \colonnetxt*[align=center]{B}<2>{$530$,$600$,$770$,$1040$,$1410$,$1880$,$2450$,$3120$,$3890$}
    \colonnetxt*[align=center]{C}<2>{$0$,$480$,$960$,$1440$,$1920$,$2400$,$2880$,$3360$,$3840$}
    \colonnetxt*[align=center]{D}<2>{$-530$,$-120$,$190$,$400$,$510$,$520$,$430$,$240$,$-50$}
  \end{tikzpicture}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Écrire, sans l'effectuer, un calcul permettant d'obtenir les valeurs $960$ et $190$ de la ligne $4$ du tableau.
  \item Sans effectuer de calcul et en utilisant les résultats fournis par la feuille de calcul ci-dessus, répondre aux deux questions suivantes :
  \begin{enumerate}
    \item Quels sont les coûts de production de $30\,000$ enceintes ?
    \item Justifier qu'en vendant $5\,000$ enceintes, l'entreprise n'est pas bénéficiaire.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

Le bénéfice réalisé (en milliers d'euros) pour $x$ milliers d'enceintes produites et vendues est modélisé par la fonction $B$ définie, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;40]$, par $B(x) = -2x^2 + 92x - 530$.

\begin{enumerate}[resume]
  \item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.
  \item Justifier que $B'$ est positive ou nulle sur $[0;23]$ et négative ou nulle sur $[23;40]$.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0;40]$.
    \item On admet que le bénéfice maximal vaut $528$ milliers d'euros. Indiquer cette valeur dans le tableau de variations.
  \end{enumerate}
  \item Pour quel nombre d'enceintes produites et vendues le bénéfice est-il maximal ?
\end{enumerate}
