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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2022}
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\newcommand{\mois}{Mai}
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\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\title{\nomfichier}
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\R{\mathbb{R}}
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\usepackage{forest}
\forestset{
fleche/.style = {edge={thick}},
aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
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}
\usepackage{pas-tableur}
%--- Nouveaux packages pour la page de garde 2025 ---
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%--- Déclarations propres à ce sujet ---
\newcommand{\codesujet}{22-MATJ1LI1}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{7,7,7,7}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités},
{Fonctions logarithme / suites},
{Fonctions exponentielle / suites},
{Géométrie dans l'espace}
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%--- Commandes de mise en page ---
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\begin{tcolorbox}[width=\linewidth,colframe=orange!70!black,colback=orange!5,fontupper=\scriptsize\cabin,size=small]
Le candidat choisit \textbf{3 exercices parmi les 4} et ne doit traiter que ces 3 exercices.\\
Chaque exercice est noté sur \textbf{7 points} \textit{(le total sera ramené sur 20 points)}.
\end{tcolorbox}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1.5cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire \guillemotleft~type collège~\guillemotright{} est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\hypertarget{sommaire}{}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{liban}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{0.5cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
\medskip
Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur :
\begin{itemize}
\item un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans ;
\item un forfait SÉNIOR pour les autres.
\end{itemize}
Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge, l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques.
On admet que :
\begin{itemize}
\item 20\,\% des skieurs ont un forfait JUNIOR;
\item 80\,\% des skieurs ont un forfait SÉNIOR ;
\item parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6\,\% choisissent l'option coupe-file;
\item parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, $12,5$\,\% choisissent l'option coupe-file.
\end{itemize}
On interroge un skieur au hasard et on considère les événements :
\begin{itemize}
\item J : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
\item C : « le skieur choisit l'option coupe-file ».
\end{itemize}
\hfill~\textit{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.}\hfill~
\medskip
\textbf{\large Partie A}
\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité $P(J \cap C)$.
\item Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0,112$.
\item Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un skieur ayant un forfait SÉNIOR ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\item Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15\,\% des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer.
\end{enumerate}
\textbf{\large Partie B}
\medskip
On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à $0,112$.
\smallskip
On considère un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard.
\smallskip
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi l'option coupe-file.
\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.
Donner les paramètres de cette loi.
\item Calculer la probabilité qu'au moins un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file.
Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\item Calculer la probabilité qu'au plus un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file.
Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
\medskip
\textit{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.\\
Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.}
\begin{enumerate}
\item Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15\,\%.
Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un
quart de litre ?
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
(a)~~2 heures&(b)~~8 heures&(c)~~9 heures&(d)~~13 heures
\end{tblr}
%
\item On considère la suite $\suiten$, définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} =\frac12 u_n + 3$ et $u_0=6$. On peut affirmer que :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~la suite $\suiten$ est strictement croissante&(b)~~la suite $\suiten$ est strictement décroissante\\
(c)~~la suite $\suiten$ n'est pas monotone&(d)~~la suite $\suiten$ est constante
\end{tblr}
%
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=4\,\ln(3x)$.
Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$,on a:
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~$f(2x)=f(x)+\ln(24)$&(b)~~$f(2x)=f(x)+\ln(16)$\\
(c)~~$f(2x)=\ln(2)+f(x)$&(d)~~$f(2x)=2f(x)$
\end{tblr}
%
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]1;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x-1}$.
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~une asymptote verticale et une asymptote horizontale.&(b)~~une asymptote verticale
et aucune asymptote horizontale.\\
(c)~~aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.&(d)~~aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
\end{tblr}
\end{enumerate}
Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0;2]$ par $h(x)=x^2\big(1 + 2\,\ln(x)\big)$.
On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan.
On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0;2]$.
On note $h'$ sa dérivée et $h''$ sa dérivée seconde.
\smallskip
On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;2]$, on a $h'(x) = 4x\big(1 + \ln(x)\big)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\e};2\right]$, la fonction $h$ s'annule :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~exactement 0 fois&(b)~~exactement 1 fois\\
(c)~~exactement 2 fois&(d)~~exactement 3 fois
\end{tblr}
%
\item Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $\sqrt{\e}$ est :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]}}
(a)~~$y=\left(6\e^{\frac12}\right)\cdot x$&(b)~~$y=\left(6\sqrt{\e}\right)\cdot x+2\e$\\
(c)~~$y=6\e^{\frac{x}{2}}$&2(d)~~$y=\left(6\e^{\frac12}\right)\cdot x-4\e$
\end{tblr}
%
\item Sur l'intervalle $]0;2]$, le nombre de points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_h$ est égal à :
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={X[l]X[l]X[l]X[l]}}
(a)~~0&(b)~~1&(c)~~2&(d)~~3
\end{tblr}
\end{enumerate}
\vspace*{5mm}
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
\medskip
\textbf{\large Partie A}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : \[ f(x)=1+x-\e^{0,5x-2}. \]
%
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. On note $f'$ sa dérivée.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x)=1+0,5x\left( 2 - \dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x} \times \e^{-2} \right)$.
En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
\item Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x)<0$ est l'intervalle $]4+2\,\ln(2);+\infty[$.
\end{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
On fera figurer la valeur exacte de l'image de $4+2\,\ln(2)$ par $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[-1;0]$.
\end{enumerate}
\textbf{\large Partie B}
\medskip
On considère la suite $\suiten$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$,
\smallskip
\hfill~$u_{n+1}=f\big(u_n\big)$ où $f$ est la fonction définie à la \textbf{partie A}.\hfill~
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[ u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.\]
\item En déduire que la suite $\suiten$ converge. On notera $\ell$ la limite.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On rappelle que $\ell$ vérifie la relation $\ell=f\big(\ell\big)$.
Démontrer que $\ell=4$.
\item On considère la fonction \texttt{valeur} écrite ci-contre dans le langage \textsf{Python} :
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center}
def valeur(a) :
u = 0
n = 0
while u <= a :
u = 1 + u - exp(0.5*u-2)
n = n+1
return n
\end{CodePythonLstAlt}
L'instruction \texttt{valeur(3.99)} renvoie la valeur \texttt{12}.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
\medskip
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.
\smallskip
On considère les points $A(5;0;-1)$, $B(1;4;-1)$, $C(1;0;3)$, $D(5;4;3)$ et $E(10;9;8)$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $R$ le milieu du segment $[AB]$.
Calculer les coordonnées du point $R$ ainsi que les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$.
\item Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point $R$ et dont $\vect{AB}$ est un vecteur normal.
Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est : \[ x-y-1=0.\]
\item Démontrer que le point $E$ appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que $EA = EB$.
\end{enumerate}
\item On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne $x-z-2=0$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
\item On note la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite est : \[ \begin{dcases} x=2+t \\y=1+t \qquad (t \in \R). \\ z=t \end{dcases} \]
\end{enumerate}
\item On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d'équation cartésienne $y+z-3=0$.
Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées.
\end{enumerate}
Si $S$ et $T$ sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $MS= MT$ est un plan, appelé plan médiateur du segment $[ST]$.
On admet que les plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments $[AB]$, $[AC]$ et $[AD]$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D$.
\item En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}