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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\numsujet}{1}
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\title{\nomfichier}
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\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
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\forestset{
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aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
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\newcommand\qcmdeux[4]{%
\begin{tblr}{width=\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
(a)~~#1 & (b)~~#2 \\
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\usetikzlibrary{hobby}
%--- Nouveaux packages pour la page de garde 2025 ---
\usepackage{cabin}
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%--- Déclarations propres à ce sujet ---
\newcommand{\codesujet}{24-MATG11BIS}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{4,5,7,4}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Vrai\&{}Faux},
{Probabilités / Variables aléatoires},
{Fonctions / Étude de fonctions / Suites},
{Géométrie dans l'espace}
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%--- Commandes de mise en page ---
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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\vspace*{0.5cm}
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L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\hypertarget{sommaire}{}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{ce.v2}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet\ (secours)}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)} %exo1
\medskip
\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\vspace*{0.75cm}
\textbf{\underline{Affirmation 1 :}} Soit $(E)$ l’équation différentielle : $y' - 2y = -6x +1$.
\medskip
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x}-6x+1$ est une solution de l’équation différentielle $(E)$.
\bigskip
\textbf{\underline{Affirmation 2 :}} On considère la suite $\Suite{u}$ définie sur $\N$ par%
\[ u_n = 1 + \frac34 + {\left(\frac34\right)}^2 + \ldots {\left(\frac34\right)}^n. \]
La suite $\Suite{u}$ a pour limite $+\infty$.
\bigskip
\textbf{\underline{Affirmation 3 :}} On considère la suite $\Suite{u}$ définie dans l’affirmation 2.
\medskip
L’instruction \texttt{suite(50)} ci-dessous, écrite en langage \textsf{Python}, renvoie $u_{50}$.
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=0.4\linewidth]{center}
def suite(k) :
S = 0
for i in range(k) :
S = S + (3/4)**k
return S
\end{CodePythonLstAlt}
\bigskip
\textbf{\underline{Affirmation 4 :}} Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par%
\[ f(x)=a\,\ln(x)-2x. \]
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $\Rij$.
\smallskip
Il existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse 1 est parallèle à l’axe des abscisses.
\pagebreak
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)} %exo2
\medskip
Au cours d’une séance, un joueur de volley-ball s’entraîne à faire des services. La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à $0,85$.
\smallskip
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :
\begin{itemize}
\item si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant est égale à $0,6$ ;
\item si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu’il ne réussisse pas le suivant est égale à $0,6$.
\end{itemize}
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l’évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\overline{R_n}$ l’évènement contraire.
\bigskip
\textbf{\underline{Partie A :}}
\medskip
On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Démontrer que la probabilité de l’événement $R_2$ est égale à $0,57$.
\item Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu’il ait raté le premier.
\item Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l’arbre pondéré de la question 1).
\item Calculer l’espérance mathématique $\Esper{Z}$ de la variable aléatoire $Z$.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{\underline{Partie B :}}
\medskip
On s’intéresse maintenant au cas général.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l’évènement $R_n$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n} \big(R_{n+1}\big)$ et $P_{\overline{R_n}} \big(\overline{R_{n+1}}\big)$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1}=0,2x_n+0,4$.
\end{enumerate}
\item Soit la suite $\Suite{u}$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n = x_n - 0,5$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\Suite{u}$ est une suite géométrique.
\item Déterminer l’expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\Suite{x}$.
\item Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)} %exo3
\medskip
Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l’un d’une marque A et l’autre d’une marque B.
\begin{Centrage}
\textit{Les parties 1 et 2 sont indépendantes.}
\end{Centrage}
\medskip
\textbf{\underline{Partie 1 :} appareil de la marque A}
\medskip
À l’aide d’une sonde, on a mesuré la température à l’intérieur du foyer d’un appareil de la marque A.
On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l’allumage du foyer.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.01cm,y=0.02cm,Xmin=0,Xmax=1200,Xgrille=50,Xgrilles=50,Ymin=0,Ymax=400,Ygrille=25,Ygrilles=25]
\TracerAxesGrilles[Police=\small]{0,100,...,1100}{0,50,...,350}
\PlacerTexte[Position=below,Police=\large]{(\pflxmax,-25)}{Temps (en min)}
\PlacerTexte[Position=above,Police=\large]{(0,\pflymax)}{Température (en °C)}
%définition de la fonction + tracé de la courbe
%\DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0,Fin=1200,Trace,Couleur=red]{1.75*x*exp(-0.005*x+1)}
\DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0,Fin=1200,Trace,Couleur=red]{20+4.485*x*exp(-0.005*x)}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
\underline{Par lecture graphique :}
\begin{enumerate}
\item Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l’intérieur du foyer.
\item Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l’intérieur du foyer dépasse 300°C.
\item On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.
Estimer la valeur de $\dfrac{1}{600} \displaystyle\int_0^{600} f(t) \dx[t]$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{\underline{Partie 2 :} étude d’une fonction}
\medskip
Soit la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $g(t)=10t\,\e^{-0,01t}+20$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $t \in \IntervalleFO{0}{+\infty}$, $g'(t)=(-0,1t+10)\e^{-0,01t}$.
\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ et construire son tableau de variations.
\end{enumerate}
\item Démontrer que l’équation $g(t)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. En donner des valeurs approchées à l’unité.
\item À l’aide d’une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^{600} g(t) \dx[t]$.
\end{enumerate}
\smallskip
\textbf{\underline{Partie 3 :} évaluation}
\medskip
Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer $t$ minutes après l’allumage est modélisée sur $\IntervalleFF{0}{600}$ par la fonction $g$.
\smallskip
L’organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants :
\begin{itemize}
\item Critère 1 : la température maximale est supérieure à 320°C.
\item Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de 2 heures.
\item Critère 3 : la température moyenne durant les 10 premières heures après l’allumage dépasse 250°C.
\item Critère 4 : la température à l’intérieur du foyer ne doit pas dépasser 300°C pendant plus de 5 heures.
\end{itemize}
Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.
\pagebreak
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)} %exo4
\medskip
On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item on se place dans un repère orthonormé $\Rijk$, une unité représentant un mètre ;
\item l’avion n°1 doit relier le point O au point $A(0; 200; 0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de 200 m/s ;
\item l’avion n°2 doit, quant à lui, relier le point $B(-33; 75; 44)$ au point $C(87; 75; -116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de 200 m/s.
\item au même instant, l’avion n°1 est au point $O$ et l’avion n°2 est au point $B$.
\end{itemize}
\begin{Centrage}
\begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-155:0.0385cm},UniteY={0:0.0347cm},UniteZ={90:0.0341cm}]
%axes
\draw[semithick,->,>=latex] (0,0,0)--(150,0,0) node[left] {$x$} ; \draw[thin] (0,0,0)--(-150,0,0) ;
\draw[semithick,->,>=latex] (0,0,0)--(0,250,0) node[right] {$y$} ;
\draw[semithick,->,>=latex] (0,0,0)--(0,0,80) node[above] {$z$} ; \draw[thin] (0,0,0)--(0,0,-200) ;
\draw (0,0,2) node[above right] {$O$} ;
%figure dessus
\PlacePointsEspace*{O/0,0,0 A/0,75,44 B/-33,75,44 C/-33,75,0 D/0,75,0 E/0,0,44 F/-33,0,44 G/-33,0,0}
\TraceSegmentsEspace[very thick,CouleurVertForet,dashed]{A/B B/C C/D D/A O/E E/F F/G G/O E/A F/B G/C}
%figure dessus
\PlacePointsEspace*{K/87,0,0 L/87,0,-116 M/87,75,-116 N/0,75,-116 P/87,75,0 Q/0,0,-116}
\TraceSegmentsEspace[very thick,purple,dashed]{O/K K/P P/D Q/L L/M M/N O/Q K/L Q/N P/M D/N}
%labels
\draw (K) node[above left,font=\small,fill=white] {$87$} ;
\draw (E) node[left=2pt,font=\small,fill=white] {$44$} ;
\draw (Q) node[above left=2pt,font=\small,fill=white] {$-116$} ;
\draw (G) node[above left=2pt,font=\small,fill=white] {$-33$} ;
\draw (D) node[below right=2pt,font=\small,fill=white] {$75$} ;
\filldraw (0,200,0) circle[radius=2pt] node[above right] {$A$} ;
\filldraw (B) circle[radius=2pt] node[above right] {$B$} ;
\filldraw (M) circle[radius=2pt] node[below=2pt] {$C$} ;
%segments de contruction
\draw[ultra thick] (M)--(B) (O)--(0,200,0) ;
\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}
\begin{enumerate}
\item Justifier que l’avion n°2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l’avion n°1 à parcourir le segment $[OA]$.
\item Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.
\item Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?
\end{enumerate}
\end{document}